理论表述的逻辑简洁性与一般性

 

人们构建理论时，不仅追求“以更少的假设推出更多的结论”，还会追求从假设到结论的逻辑简洁性。从假设到结论的推理中，常常可能有多条“路径”或方法，然而，学术研究者一般更偏爱那些更简洁且逻辑更严谨的方法，这些方法也常常被看作“更一般”、“更深刻”的方法。数学王子高斯的一段话很有代表性。他在1817年3月回顾（数论中的）“二次互反律”的七种证明之一时认为，即使你已经得到一个证明，但“就高级算术（数论）而论，你绝不能以为研究已告结束，或把寻找另外的证明当作多余的奢侈品。有时候，你开初并没得到最美和最简单的证明，而恰是这种证明才能深入到高级算术之真理的奇妙联系中去。这是吸引我们去研究的主要动力，并常能使我们发现新的真理”。[ 转引自李文林（2005）：《数学的进化——东西方数学史比较研究》，科学出版社。]高斯的这段话事实上也指出了，理论研究中人们所持有的“经济原则”，常常也是推动理论研究本身发展的重要动力、方式或途径。同奥康剃刀一样，我们固然还不敢断言，这种“经济原则”必然能在理论研究上给我们带来意想不到的重大收获，但是此原则对于理论研究的益处也是无法否认的。历史上（特别是在数学的发展中）这样的例子不胜枚举。理论研究中许多新概念及新理论的提出，常常是把原先被认为“一般”、“简单”、“精巧”的东西变成了显得“个别”、“繁琐”、“笨拙”的特例，可谓“相形见绌”。而这一“更一般化、更简单化、更精巧化”的过程的实现，可以有以下几种“好处”：（1）加深人们对已有知识的再理解与再认识，（2）使推理（或证明）过程更简洁从而简化理论表述，（3）避免大量的重复研究（特别是证明），（4）揭示各学科之间的联系，并基于此可能诞生出新学科。在笔者看来，这些好处强烈地体现了人们所固有或坚持的“经济原则”。

 

对于数学以外的学科，研究者主动地采用数学语言来表述理论并进行理论研究，在笔者看来，也可以说是人们这种“经济原则”的贯彻。言简意赅，这一颇具“经济学味道”的理想，正是理论表述所追求的。数学语言则在许多情况下有助于实现这一理想。从另一个角度说，笔者认为，对使用数学语言的支持与反对，也应该离不开“经济原则”。以经济学研究为例，如果数学语言的使用“很经济”，比如，使理论研究过程更简洁、更严谨、更一般，那么我们应该支持这种使用；反之，如果数学语言的使用“很不经济”，比如，以繁琐且漏洞频出的符号表述或推导了很直观、很简单、很特殊的情形，那么我们应该反对这种使用。当然，这里不是想说这种“经济原则”是支持与反对使用数学语言的******判别标准，而是想说它应该是一条必要的标准。

　　

对于经验结果的“理论解释”

 

至少在经济学经验研究领域，人们经常要求对基于经验数据的统计（包括计量）分析结论给出“理论解释（或说明）”。即使经验分析的结论已经很符合人们的直观认识，人们似乎还想揭示它们与某种理论（特别是已有理论）之间的关系，简单说，就是试图根据某种理论推出已经获得的经验分析结论。

 

物理学中更是有一个颇具代表性的例子，这就是“紫外灾难”与普朗克的辐射定律。19世纪末20世纪初，关于黑体辐射能随辐射波长（或频率）的分布，人们通过两条路径分别得出了两个公式（或定律）：一个是维恩通过半理论半经验的方法“凑出”的公式（被称作维恩辐射定律），另一个是瑞利与金斯根据经典物理学的基本原理推导出的公式（被称作瑞利-金斯辐射定律）。两个公式在独立描述经验结果方面都不令人满意，前者在波长较短（频率较高）、温度较低时才与实验结果相符，后者虽然在波长较长（频率较低）时与实验结果相符，但随着频率增大会出现辐射能趋向无穷大（发散）的灾难性结果（因为该公式中，辐射能简单地与频率的平方成正比）。

 

两个公式“不如人意”的地方还不止于此。经过洛伦兹的证明，瑞利-金斯的公式是严格遵循经典物理理论推导的，换言之，若辐射过程严格遵循电磁理论的普遍规律及能量均分定理，则必然可以推出瑞利-金斯的公式。这就暴露了经典物理理论的缺陷。1900年，普朗克借鉴前人在理论及经验上的结果通过自己的研究提出了一个新的公式（被称作普朗克辐射定律），该公式令人惊讶地在各种频率情形下都与实验结果精确地相符。但是普朗克并没有满足于此，“必须不惜任何代价去找出理论解释”是普朗克的信念。他提到：“即使（经验上——笔者注）证明了这个公式是绝对正确的，但如果仅仅可以把它看作是一个侥幸揣测出来的内插公式，其价值仍然是有限的。由于这个缘故，从那时起，也就是从这个公式建立那天起，我一直致力于阐明这个公式的真正物理意义。”[ 转引自申先甲、林可济主编（1999）：《科学悖论集》，湖南科学技术出版社。]为了从理论上自然地推导出这个公式，普朗克采用了与经典理论背离的全新假设，即“能量子”（能量的最小基元）假设；他同时意识到，不借助这个假设，他的公式是无法推导出来的。在新的假设下，能量不再是连续的，而是存在最小单位，是“一份一份”的，普朗克的工作为以后量子力学的建立奠定了基石（不过，有意思的是，普朗克虽然由此开启了量子力学的大门，但他本人对自己的做法是不放心的）。

 

在笔者看来，对经验结果给出“理论解释”，也是人们“经济原则”的反映。如果人们只满足于经验公式（或定律）的精确表述，而不追求它们“背后的东西”，人们就难以很好地坚持“科学不是经验材料的堆积”这一信念，而人们之所以坚持这一信念，也是由于人们其实喜欢尽可能从少数的、简单的、直观的、一般的原理（或假设、公理）出发，推导出大量的经验现象。能把越来越多的原先从经验中得来的“原理”（或“定律”），变成现在从理论中得来的“定理”，人们就可以仅基于形式逻辑而通过少数的一些认识再理解、再认识已有的大量的认识。这可谓“一本万利”、“以逸待劳”的想法。这也是理论演进中所呈现的一个重要特征。这个过程一旦实现，大量的经验现象（当然，这些现象也是分层次、分类别的），便不再被理解为“个别的”、“偶然的”、“特殊的”，而是，在它们背后有着某种“共同的”、“必然的”、“一般的”东西，这种“东西”则正是理论要揭示的。对经验结果（现象）追求理论解释，有助于人们揭示或理解已知的各种经验现象之间的联系，也有助于人们进一步去发现更多未知的经验现象。这样，人们使用“理论”这种方法，在把握经验现象方面就可以节约大量精力，收获“事半功倍”之效。